剖析数学归纳法（精选十篇）
剖析数学归纳法（精选十篇）
剖析数学归纳法 篇1
一、没有用假设条件
例1用数学归纳法证明:
误证:(1)n=1时,坐式右式可见左式>右式,不等式成立.
(2)假设n=k时,成立,
当n=k+1时,
剖析:在用数学归纳法证明的第二步中,应该利用上n=k时命题成立这个假设条件,来推证出n=k+1时命题也成立.而以上的证明中,并没有利用n=k时命题成立这个假设条件,却另外采用了放缩法,然后再求和.这种证法不是数学归纳法.现改正如下:
当n=k+1时
二、项数搞错
例2求证:(其中n∈N*,n≥2).
误证:(1) n=2时,.
(2)假设n=k时,,当n=k+1时,
剖析:以上证明,由于对左式中项数的变化规律理解肤浅,导致计算项数时发生错误.现改正如下:
(1)当n=2时,<2=右式,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2)时,成立,当n=k+1时,右式,可见不等式也成立.
由(1)和(2)可知,当n∈N*且n≥2时,不等式总成立.
三、运用假设条件不合理
例3求证
(2)假设n=k时当n=k+1时,
误证:(1)当n=1时,
显然不可能小于右式的2,证明受阻.
剖析:以上在推证n=k+1时,对n=k的假设条件运用不合理,因而使证明无法继续下去.现改进如下:
当n=k+1时,.
四、奠基点不当
例4求证:2n+2>n2(其中∈N*).
误证:(1)n=1时,不等式显然成立.
(2)假设n=k时,2k+2>k2,当n=k+1时,
左式=2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2,
右式=(k+1)2=k2+2k+1.
要证左式>右式,只要证2k2-2≥k2+2k+1,即证k2≥2k+3.而该式对n=1,n=2并不成立,证明受阻.
剖析:以上的k2≥2k+3虽然对k=1,2不成立,但对k≥3是成立的.因此,对假设条件应增强为n=k(k≥3),而在第一步中应增加验证n=2,n=3时命题成立.
证明:(1)n=1,2,3时,容易验证2n+2>n2成立.
(2)假设n=k(k≥3)时,2k+2>k2成立,当n=k+1时,
左式=2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3=(k+1)2+(k-3)(k+1)≥(k+1)2=右式,
可见不等式也成立.
由(1)和(2)可知,当n∈N时,不等式2n+2>n2恒成立.
五、运用假设条件含糊不清
例5在数列{an}中,an>0,an+1≤an-,求证:,
误证:在的假设条件下,有人含糊其词地得出.
实际上,仔细推敲一下,以上证明缺乏根据,为了使以上推理成立,可考虑相应函数xx2的单调性.
证明:(1)当n=1时,由1有a1(1-a1)≥a2>0.而由题设a1>0,则1-a1>0,得a1<1.
当n=2时,有.
可见当n=1,n=2时,命题成立.
(2)假设n=k(k≥2)时,,当n=k+1时,有.
而相应函数在区间(0,]上是增函数,又k≥2时,,故有.可见命题也成立.
由(1)和(2)可知,当n∈N*时,都有成立.
评析:以上证明中有两处很关键:一是构造出相应函数x-x2在(0,]上是增函数;二是在第一步中需要验证n=1,n=2时命题成立,这才能为第二步中假设k≥2奠定基础.只有这两条都俱备,才能由n=k(k≥2)过渡到n=k+1时应用上假设条件.
练习题:
1. 用数学归纳法证明以下不等式(其中n∈N*):
(1)1+2+…+2n>2n2;
2017考研数学题目分类剖析 篇2
2017考研数学题目分类剖析
考研数学对于许多考生来说是非常头疼的科目，对于文科生来说，数学更像一只考研路上的拦路虎，如何做好考研数学的备考，下面是中公考研为文科生总结的复习三原则，希望对各位考生可以提供一些帮助。
1.把基本概念弄懂，基本理论弄透。数学有庞大的知识体系，从知识论的角度来讲，它的内在结构很严正，很富有层次感。从概念、定义到公理，从公理到定理、推论，层层演进，步步深入，很多人知其然、不知其所以然，就是因为忽视了数学最基础的知识，有时候你绞尽脑汁不得其解，很可能只是因为你对某个概念的理解不够透彻，老师还特别告诫学生，要把握、领悟那些最基础的数学概念。
这里提到的基本概念搞懂，我们可以从以下几个方面来理解和把握：首先是这个概念产生的实际背景是什么，界定此概念所运用到的数学思想和方法是什么。接下来要弄懂这个概念的定义式，包括它的数学含义、几何意义和物理意义，以及在这个概念上的拓展和延伸等等。对于每个概念我们都要尽可能地从这几个方面来理解把握。弄懂概念，是学懂数学的至关重要的一步。理论性的内容，比如说定理、性质、推论，首先要清楚它的条件是什么，结论是什么，这是最起码的要求。数学考试事实就是考察这些定理、推论的运用，只要理解透了，不管出题方式怎么刁钻，你都可以以静制动，以不变应万变。
2.仔细阅读教材，重视做题训练。挑选一本实用教材，扎扎实实地多啃几遍，肯定每次都会有新的发现。所谓“读书百遍，其义自现”，还是有其道理的。看教材要细致，要对基本概念、基本定理有充分地理解，最好还要弄懂每个定理的证明过程，我认为这些定理的证明过程对培养缜密的思维逻辑和良好的思维习惯非常有帮助。此外，课后的练习十分重要，课后练习题是对基本概念、基本定理最基础的拓展和应用。
3.熟悉了教材之后，需要做题来巩固知识，以加深对概念和定理的理解，使数学解题能力更上一层楼。这个时候，我们选择的练习题不能难度过大，否则会极大地打击前一个阶段建立起来的信心，但如果题型过于简单又让我们无法领悟数学的难度。
2015年硕士研究生考试结束后，听到很多老师对今年考研数学试卷的评价很高，认为他们出题的角度和思路都非常适合这类选拔类的考试。在此凯程考研针对今年考研试题特点，队备战2017考研的同学们在复习的时候提出以下建议：
一、在考研数学复习中，由全面复习，把握重点变为把握重点，全面复习
首先对考研数学的概念、定理和公式进行系统复习，在此基础上对重点和难点部分作重点复习，但不要专门去做偏题、难题、怪题，开始全面复习之前抓住重点章节及常考部分非常关键，因为全面复习并不等于把精力和时间平均地分摊在所有的知识点上，而是要在全面复习的基础上，抓住重点、难点、热点和主要考试点，多年经验表明：各科的重要常考考点一般占其考试大纲的60%~70%。抓重点难点考点可使复习针对性增强，加快考研复习进度并节省大量时间，提高考研竞争优势，为考场取得高分打下坚实的基础。
二、掌握考研数学的基础，灵活运用
复习考研数学要注意掌握基本概念、基本方法。要注意定理和公式成立的条件，应
凯程考研，为学员服务，为学生引路！
用范围及变形，在理解的基础上灵活运用。近几年综合性试题、实际应用性试题越来越多，考生要特别注意。
三、熟悉历年考研数学的试题类型、难度、重点章节和覆盖面，并做大量高质量的练习题。
在复习时，一定要认真做大量高水准的练习题，历年真题就是最好的练习题。要知道数学高分是平时做练习题训练出来的，这是一条经过多次实践检验的真理。望切实引起考生的高度重视!做大量练习有利于提高考生考场应试和解题的能力，并大大增强考场做题熟练程度。
四、通过做考研数学模拟试题发现薄弱环节
在精读复习完教材或数学复习指导类书后，要做5套左右高质量的模拟试题。通过做模拟题，可增加临场应变能力。发现自己的薄弱环节，然后再反过来有目的、有重点地重新复习教材或复习指导类书，调整复习方向。
最后，凯程考研祝愿2015考生在考研数学的复习过程中如鱼得水!考研数学的题型和分值近几年没有变化，因此，对于考生来说，认真的研读考研数学真题对于把握做题思路及命题人的出题点是很有必要的，下面小编就为大家整理了一些考研数学真题的解题技巧，供大家参考，希望能够给大家带来启发，帮助大家更好的备考考研数学!
对于选择题来说，只有一个正确选项，其余三个都是干扰项，做题的时候只需给出正确选项的字母即可，不用给出推导过程，选对得满分，选错或者不选均得0分，不倒扣分。在做选择题的时候大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。选择题属于客观题，答案是唯一的，并且考研数学考试中的多选题也是以单选的形式出现的，最终的答案只有一个，评分是不偏不倚的。选择题的难度一般都是适中的，均为中等难度，没有特别难的，也没有一眼就能看出选项的题目。选择题主要考查的是考生对基本的数学概念、性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判断、计算和比较即可。所以选择题对于考生来说，要么依靠扎实的知识得分，要么靠自身的运气得分，这32分要想稳拿需要考生在复习的时候深入思考，不能主观臆想，要思考与动手相结合才行。
填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。
解答题的分值较多，占总分的60%多，类型也较复杂，有计算题、证明题、实际应用题等，并且一般情况下每道大题都会有多种解题方法或者证明思路，有的甚至有初等解法，得分率不容易控制，所以考试在做解答题是尽量用与《考试大纲》中规定的考试内容和考试目标相一致的解题方法和证明方法，每一步的表述要清楚，每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标是有关系的。综合性较强、推理过程较多、或者应用性的题目，分值较高;基本的计算题、常规性试题和简单的应用题分值较低。解答题属主观题，其答案有时并不唯一，要能看到出题人的考核意图，选择合适的方法解答该题。计算题的正确解答需要靠自己平时对各种题型计算方法的积累及掌握的熟练程度。如二元函数求最值的方法和步骤，曲线积分、曲面积分的计算方法及其与重积分的关系，以及格林公式、高斯公式等，重积分的计算方法及一些特殊结论(如积分区域对称，被积对象具有一定的奇偶性时的情形)等都需要非 2页共2页
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常熟悉。证明题是大多数考生感到无从下手的题目，所以一些简单的证明题在考试中也会得分率极低。证明题考查最多的是中值定理(微分中值定理及积分中值定理)，其次从题型来说就是不等式的证明，方法却比较多，但仍然是有章可寻的。这就需要考生在平时多留意证明题的类型及其证明方法。解答题除考查基本运算外，还考查考生的逻辑推理能力和综合运用能力，这需要考生在复习的过程中不断的加强与提高。凯程教育：
凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；
凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿；
使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上；
敬业：以专业的态度做非凡的事业；
服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。
如何选择考研辅导班：
在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。
师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由
一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。
对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻
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苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。
趣味数学 典型剖析 篇3
问题1某商场张经理是个有名的“神算子”.有一次，商场从外地调进一批牛肉罐头，他让保管员抓紧时间分发到各个门市部去，保管员向张经理汇报说：“新运来的44 818听牛肉罐头，除报损的外，已平均分到9个门市部去了，平均数达到了最大，报损的只有……”
“只有7听报损.”没等保管员说完，张经理脱口而出.
保管员惊奇地瞪大眼睛说：“经理，你算得太神奇了，一点不差！”你知道张经理是怎么算的吗？
张经理是根据“新运来的44 818听牛肉罐头，除报损的外，已平均分到9个门市部去了，平均数达到了最大”这一信息，运用了44 818除以9余7这一简单的除法运算得出结论的.我们的生活中充满了数学，只要从小有数学应用意识，学会用数学的方法去看待问题、解决问题，那么不久的将来在我们同学中就会出现一大批“神算子”.
问题2在图1所示的方格中，填入1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数，使每行、每列、对角线上各数的和都为15.
解决此题的关键是先在哪一个方格中填数？填上什么数？为了平衡，想到把中间的一个数5填在中心位置上，其他的数如何填呢？很显然，1和9，2和8，3和7，4和6应分别与5在同一行，或同一列，或同一对角线上.这样问题便得到巧妙解决.答案如图2所示.
问题3老师与学生小王、小张、小李玩纸牌游戏，老师先给三位学生看了四张纸牌，其反面完全相同，正面分别标有1，1，2，3，然后把牌反面朝上洗匀，分给他们三人每人一张，让他们先看其他同学所分纸牌的数字，然后说出自己所分纸牌的数字.小李看到小王的纸牌的数字是1，小张的纸牌数字是3，同时看到小王、小张无法马上说出自己纸牌的数字，这时小李立刻猜出了自己所分纸牌的数字.小李所分纸牌的数字是什么？为什么？
小李所分纸牌的数字是1.因为小李看到小王、小张的纸牌数字分别是1和3，则小李自己所分的纸牌数字是1或2.若小李的纸牌的数字是2，则小王必能说出自己的纸牌数字是1，但小王、小张都无法马上说出自己的纸牌数字，所以小李的纸牌数字是1.
问题4有一堆桃子，两只猴子平均分剩1个，三只猴子平均分剩2个，四只猴子平均分剩3个，五只猴子平均分剩4个.这堆桃子至少有多少个？
由于这堆桃子所剩的个数恰好都比参加分配的猴子数目少1，若借来1个桃子参与分配，恰好每个猴子都能多分得1个桃子，没有余数，这说明此时桃子数是2、3、4、5的公倍数.因此，这堆桃子至少有：3×4×5-1=59（个）.
从上面的几个例子可以看出，做数学是生动有趣的，只有同学们勤思、善思，主动去探疑释疑，从而获取新知识，这样才能使自己的数学思维变得更深刻、更敏捷、更灵活，才能更好地体会《走进数学世界》这一章所体现的数学思想方法、数学人文精神、数学应用意识、数学价值观，才能更完整地认识数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，初步形成运用数学的意识.同时才能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难的勇气和运用知识解决问题的成功体验，为我们学习初中数学作必要的准备.
初中数学课堂教学问题剖析 篇4
一、情境创设喧宾夺主
教学情境是教师为了支持学生的学习,根据教学目标和教学内容有目的地创设的教学环境。
教学情境的创设要符合学生的心理特点和认知规律,要根据不同的教学内容有所变化,创设的情境还应该赋予一定的时代气息。情境的表现形式应该是多种多样的,如问题情境、活动情境、故事情境,等等。对于初中学生,要侧重创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境,用数学本身的魅力去吸引学生。教学中,教师不能简单化地理解新的课程理念和教学方法,不要单纯地用“生活化”、“活动化”冲淡“数学味”,不能把数学课上成活动课、游戏课。过分追求情境设置难免会掩盖数学的本质特点,削弱数学本身特有的魅力。
二、自主学习形而上学
自主学习是一种高品质的学习,它是建立在“能学,想学,会学,坚持学”的基础上的。现在,很多教师片面理解自主学习,在课堂上出现不敢“讲”的现象,把“少讲”作为教学的一个原则,把“少讲”作为自主学习的一种体现。本来老师一句话就可以点明的问题,非要跟学生“兜圈子”、“捉迷藏”,似乎都较着劲比谁更“少言寡语”。因为他们知道,讲了就会有“灌输”、“填鸭”之嫌。
从学习方式看,学生的数学学习可以分为两种基本形式:一种是接受学习,一种是发现学习。无论是接受学习,还是发现学习都是数学学习中的重要方式。一般来讲,概念、法则、结论等学生能够去发现的,就应该尽可能地采用发现学习;陈述性的、事实性的知识,或者是教学的疑难点、易错点,则可以采用接受学习。发现学习和接受学习在一节课中更多的情况是两者交替进行,在接受中有发现,在发现中也有接受的成分。
三、电教手段不重实效
电教手段与常规教学手段相比,有其独特的优势。运用多媒体计算机辅助教学,能吸引学生的注意力,使学生形成鲜明的表象,启迪学生的思维,扩大信息量,提高教学效率。但现在的观摩课、公开课、评优课,似乎不采用现代化教学手段就是观念不先进。为此,上课教师花费大量时间精心制作课件,可结果并不理想:有的课件不过是课本搬家;有的课件五彩缤纷,分散学生的注意力;有的精心制作的课件展示砍掉了本该由学生动手操作的内容,使学生成了观众;还有的干脆用多媒体替代板书,黑板上除了课题没有其它任何痕迹;更有的教师因计算机操作不熟练,造成课上到中途而无法进行,致使课件成为一种点缀、甚至累赘。
所以计算机辅助教学要注重实效。使用新技术并不一定代表新的教学思想。屏幕不能代替必要的板书,教师只有把现代化的教学手段与传统的教学手段有机地结合起来使用,优势互补,使教学手段整体优化,才能提高课堂教学效率。
四、小组合作流于形式
在几乎所有的数学课堂上,我们都可以看到小组合作学习的形式。这说明教师已经有意识地把这种形式引入课堂。但是,仔细观察就会发现,在部分教师的课堂上,小组合作学习流于形式,缺乏实质性的合作。主要表现在:合作学习的内容没有探讨价值,小组合作前缺少让学生独立思考的过程,学生的参与度不均衡,学生间的合作不够主动,教师不能给学生充裕的合作时间,忽视对学生合作技能的训练与培养。有些教师组织学生讨论流于形式,为讨论而讨论。有些问题需要讨论,但只给不到一分钟时间,学生还没有说上两三句话,就草草收场。
五、教材运用缺乏创造
新教材的功能发生了很大变化,教师在教学内容的选择上应注意,教材是实施教学的工具,而不是惟一的标准,我们要用教材去教数学,而不是教教材上的数学。怎样真正理解和把握还存在一些问题。一种是完全照搬教材,按照教材内容去教,另一种是完全脱离教材,另起炉灶,还理直气壮地说你们不是提倡用教材而不是教教材吗?听起来很有道理,但我们深入一下思考,这里面就涉及到一个问题:如何创造性地使用教材?即必须依据课程标准、学生的认知实际,考虑时代和科学的进步;要根据学生的实际情况增加或补充某些内容,删除或者减少某些学生已经掌握的内容,在内容的呈现上要符合学生的年龄特点。就是你既要尊重教材,又不能完全照搬教材。
小学高段数学典型错题剖析 篇5
摘 要：通过撷取几例小学数学典型错题，对其进行深入的剖析和思考，旨在促使教师对学生的错题进行理性反思。悟出行之有效的教学策略，以便改进教学行为，提高学习的有效性。
关键词：小学数学；错题；策略
学生作业中的“错题”不仅能折射出学生对知识点的错误理解和技能的缺失，而且也能间接地反映出教师教学的得失。我们应该善于捕捉“错题”中蕴含的有用教学价值。针对典型的错题进一步深入分析和思考学生出错的原因，并透过错误发现有关问题，反思教学中存在的缺陷，并辅之以行之有效的教学策略。让错题成为鞭笞我们不断改进教学的有效手段。
一、概念模糊，“模棱两可”
【错例再现】
例1.一张圆形纸片的周长为31.4厘米，对折后得到一个半圆。这个半圆的周长是（15.7厘米）。
【成因聚焦】
学生误认为“圆周长的一半=半圆的周长”，殊不知圆周长的一半是一条曲线，而半圆是一个封闭图形，它的周长比圆周长的一半多了一条直径。学生对含义相近的数学概念很容易混淆，从而出现类似的错误。
【解决策略】
1.深化数学概念教学
深化数学概念教学是在学生认识概念的基础上，对概念进行分析，以达到透彻理解并掌握概念的目的。教师在教学较难、复杂的概念时，应突出关键词并逐层剖析。如教学“周长概念”时，应突出“封闭”“一周”这两个概念的结合；同时可以把“半圆周长”和“圆周长的一半”这两个相关的概念结合在一起进行比较教学，注意让学生进行类比分析，以加深对此概念的理解，如，平均速度和速度平均值、比值和比例等。
2.防止学习的负迁移
所谓负迁移是指学生在学习过程中，先前学过的知识、技能、方法对后续的学习所起的干扰或抑制作用。如，教分数的初步认识时，很多老师都是以圆片作为素材认识。教师只注重强调代表半圆，正是这种活动经验的习得，导致学生求半圆周长时，误认为是圆周长的一半。学生往往只注意到新旧知识表面的相似性，而意识不到它们之间内在的本质区别。因此，对于相似、相近、易混的概念，教师要通过辨析对比、讲清内涵、讲透外延，让学生理解其实质，有效防止知识的负迁移。
二、理解偏差，“蜻蜓点水”
【错例再现】
例2.一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，第（D）段长一些。
A.第一段长 B.第二段长 C.一样长 D.无法确定
【成因聚焦】
例2的错误主要发生在“两根同样长的绳子，一根剪去，另一根剪去米，第（）根剪去的长一些”这题后出现的，是由于教师过度教学引起的。由于学生感受数学信息刺激强弱具有特殊性，而“第一段长米，第二段占全长的”这句话就成为强刺激部分，掩盖了“一根绳子剪成两段”这个弱刺激，考虑问题就出现了偏差，认为应该是“无法确定”。
【解决策略】
1.加强题组对比，防止思维定式
小学生受年龄和认知心理的局限，对数学的本质属性理解不深，容易被非本质属性所迷惑。学生受已有知识经验的限制，对新知识容易产生思维障碍。教师在教学时可以采用题组比较和正误比较法，帮助学生觉察到错误所在。如，讲解例2时，可以同时呈现“两根同样长的绳子，一根剪去，另一根剪去米，第（）根剪去的长一些”，找出两题的异同点，避免不该发生的错误。这两题虽然都是单位“1的量”不知道，而例2是在同一根绳子中于绳子的长度无关联，第二段占，必然剩余的第一段占，而也是个无用的信息。因而，加强类似题目的题组练习，比较辨别中有利于防止学生思维定式。
2.注重画图策略的培养
画图策略应该是学生解决问题的一种很基本也很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的高低。如例2可以先让学生动手画一画线段图。通过直观的线段图，学生能一目了然地感知剪去的第一段比第二段要长，有效地排除“米”这个数据的干扰作用，从而提高学生分析和解答问题的能力。
三、解题方法欠缺，“故步自封”
【错例再现】
例3.小刚小时走了千米，照这样计算，每千米需要小时，他每小时走千米。
【成因聚焦】
学生基本上都是通过从除法意义角度来理解（小时）、（千米）”表示的实际含义。由于对除法意义理解不透彻，导致学生思维混乱。从数量关系来看，尽管学生对“路程÷时间=速度”能达到吐口而出的程度，但实际是对数量关系之间的联系没有真正的理解吃透。从解题方法角度来看，此题有不同的解法，但是学生却拘泥于从“除法意义”角度思考，对于知识的综合运用能力薄弱，不懂得灵活运用解题策略。
【解决策略】
1.为学生提供灵活而有效的解题策略
数学知识具有整体的关联性，知识点之间是相互渗透的，一个问题不局限于一种方法，有时常常可以用多种方法解决。我们应敢于“舍得”，多花点时间组织学生在辨析的基础上，归纳出一题多解的方法，提倡学生择优选择适合自己理解的解题方法，有助于学生解题能力的提高。如例3就有多种解题方法，可以利用除法意义解答，画线段图找数量关系，利用两个量之间的倍数关系解答，也可以抓住“路程和速度这两个量的比值是一定的”用比例知识解答等。
2.变式练习，培养学生的“求异思维”
教学中我们要注重发展学生的求异思维，培养学生思维的流畅性和灵活性，就需要精选一些能训练学生解题思路、提高解题能力的题进行分析，可以改变解决问题中的其中一个条件，也可以条件不变，或变问题等多种途径的一题多变、一题多解等多种训练相结合。
学生学习数学的过程是在对抗错误中成长的。教师若能慧眼从中有所悟，善于利用学生典型错题进行理性反思，寻根问底、对症下药，错题将是我们教学的好助手，将有效提高教学的有效性和学习的针对性。
参考文献：
高中数学填空题解题技巧剖析 篇6
【关键词】高中数学;填空题;解题技巧
高中数学试卷的主要考查方式有两种：填空、解答。其中，填空题虽然题型简练，但分值较高，跨度大，覆盖面广，形式灵活，在教学中占有非常重要的地位。在实际的考试测验中，部分学生对填空题心存畏惧，认为总有不少填空题是自己不会做的，导致丢分严重。因此，在教学中教师要根据填空的特点突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，引导学生掌握相应的解题技巧，从而提高学生的解答能力。
一、做实基础，完善体系
“不积跬步无以至千里”，如果只有解题技巧，没有坚实的知识基础，那么一切都是空谈。高中数学知识点繁杂，而填空题考察点也不是固定的，所以，构建完善的知识体系是攻克填空题的有力武器。通常，考试当中试题的综合性很高，一道题中可能涉及多种知识概念，学生需要将知识联系起来，从而找到解题思路。教师要为学生准备基础习题进行训练，如下：
（1）假设集合A={-3，-2，2，4，6，8}，集合B={-3，0，2，6，10}，则A∩B= ，A∪B= 。
（2）已知方程2x2-4ax+3a2=0的两根一个小于1，一个大于1，计算a的取值范围 。
（3）2条直线p和q，不在同一平面内，假如另一直线r//p，求r与q的关系 。
教师要通过简单的习题练习，来完善学生基础知识体系的构建，让学生了解题目所涉及到的知识点，对于理论性的数学知识，教师也要为学生归纳整理，在课堂上强调其重要性，并不定期检查学生的掌握记忆情况，如：（1）陈述语句一定是命题，而疑问句、感叹句、祈使句不是命题;（2）在某对称单调区间内，奇函数的单调性是相同的，而偶函数的单调性则不同;（3）在三角函数的符号判断中，一全正，二正弦，三正切，四余弦。诸如此类。这样的基础知识记忆能帮助学生熟练运用，完善知识体系，做到举一反三，灵活使用。
二、直接推导，简单实用
在众多解题技巧中，直接推导是最为简单也是最为实用的技巧。顾名思义，直接推导就是根据题目中的条件以及条件间的关系，利用数学性质、数学公式、定义定理等，通过一定的计算，直接计算出所求的结果。在使用直接推导法解答填空题的时候，要注意做到灵活运用，不要仅仅局限在题目表面，要看到题目中的隐含条件，将所涉及到数字条件罗列在一起，形成紧密的关系，最后，一击解决。这也是学生采用最多的数学填空题解题技巧，对学生的知识联系能力有一定的要求，教师要积极引导，在平时的学习中不断锻炼学生的推导能力，熟练掌握该解题技巧。以具体的实例来说，
2014年世界杯期间，一家博彩中心推出新玩法：在9场比赛中，猜对所有比赛结果（赢、输、平）的人获得土豪奖，猜中8场比赛结果的获得鼓励奖，猜对7场及7场以下比赛结果的没有任何奖励，问小张获得土豪奖的几率是 。
该题中的条件有：9场比赛，3种比赛结果，猜对9场为土豪奖，猜对8场为鼓励奖，其余没奖。其中，有用的条件是前两个，由于事件相互独立，那么可以得到，小张猜对1场的几率为，所以，求得结果为。这就是利用题目条件，顺序推导，简单实用，教师要让学生多加练习，熟练掌握。
三、特值代入，巧取答案
由于数学填空题不要求解题过程，故而学生可以通过代入特殊数值，巧取答案。该方法使用起来较为简便，不需要复杂的逻辑思考能力，只需要理解题目含义，正确选取特殊数值，就能解决掉。特值代入适用于含有不定量与定论的题目，特殊值也不仅限于数值，可以根据实际题目的要求进行选取，如可以选取一个点、一个数组、一个图形、一个数列等，这样，抽象的问题就会变的具体化，且由于特殊值的存在，问题的难度也大大降低了，比起直接解答，该方法快速简单，且准确率高。但是学生要注意的是，特殊值的选取不能与题目条件相反，这就需要学生进行严谨的审题，确定数值的定义域，确保不要误解题意。如下题：
已知三角形三个角分别为A、B、C，所对边分别为a、b、c，假设a、b、c三边长度组成等差数列，求■ = 。在该题中，三角形的角度、长度都是未知的，我们可以根据三边长度为等差数列，选取特殊值，如a=3，b=4，c=5，这样，就可以得到sinA=■，sinB=■进而求得■=■这样，解题过程就变得非常简单，且又快又准。
四、等价转换，化难为易
有时候，在遇到一些较难较抽象的题目时，我们可以采用等价转换的方法，降低题目的难度，如果我们在直接解答过程中，遇到了较大的阻力，学生可以转换一下思想，从反方向思考问题，将题型转换为我们见过的题型，不仅增加了信心，也提高了答案的准确度。等价转换具体的方法有很多，可以从反方向思考，也可以转换为平行关系，通过发现规律得知答案。举例进行说明：
已知曲线x2+y2-2px+p2-2p-4=0与直线y=ax+1（a∈R）始终有一交点，求p的取值范围 。由于该题涉及到多个未知数，直接解答存在一定的难度，学生可以通过等价转换，根据条件所述内容，与（0，1）在圆内是一致的，所以，将此题转换解答即可，02+12-2p0+p2-2p-4≤0，最终解答出p的取值范围是[-1，3]。通过找到符合条件进行转换，能将抽象的问题具体化，用实际数字进行计算，对答案的准确率有很大的保证， 且大大降低了问题的难度。教师在讲解例题的时候，要培养学生等价转换的思想，这个时候不要迎难而上，不要用蛮力，而要用巧劲，节约时间，提高准确率，从而提升自己的成绩。
五、数形结合，形象生动
数学是一门“数”与“图”结合的学科，数字与图形是相互存在的，二者缺一不可。在解决填空题的时候，学生也可以采用数形结合，根据题目中给出的条件，在纸上画出图形，这样，抽象的问题就具体生动的展现在眼前了，学生对解题思路以及解题方法就能够一目了然了。通常，数形结合的方法适用于不等式、函数方程等涉及图形的问题，还需要注意的是，学生在作图的时候，要根据题目中的数字进行比例缩放，确保图形与问题的意思符合，不要乱涂乱画，使得问题更加抽象或者将题意理解错误。高中数学填空题只需要给出答案，不需要写出解题过程，使用数形结合，学生可以直接在图形上看出答案，完全不需要再进行复杂的计算，即使需要计算，也会变得很简单。尤其是在考试过程中，使用数形结合的方法，既能节约时间，也能提高分数，比起埋头苦算，何乐而不为呢。有些题目还可以通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观意想的错误。如下题：
已知点q（sina，cosa）在第二象限，求角a的终边在 象限。
学生可以在纸上画出直角坐标系，判断角a的正余弦正负情况，就能够得到答案在第四象限。教师在平时也要多使用图形结合的方法讲解填空题，培养学生的解题习惯，对提高教学效率也有很大的帮助。
在选取以上的解题方法的基础上，可以一种方法解答之后，再用其它方法，看它们的结果是否一致，从而可避免单一的方法造成的策略性错误。
高中数学填空题是考试的必考题型，及时掌握解题技巧，可以降低题目的难度，提高答案的准确率，教师在平时要强调解题技巧的重要性，夯实学生的知识基础，不断使用解题技巧进行习题的讲解，培养浓厚的氛围，让学生敢于用、善于用，从而提高自己的学习成绩。
【参考文献】
[1]张圣官.高考填空题中的创新题型例析[J].考试（高考数学版）.2007（03）
[2]伍霙.高考单项填空题解题技巧的实践与探索[J].新课程学习（下）.2013（05）
[3]曾安雄.例析高考数学填空题的创新[J].中学生百科.2006（11）
高中数学填空题解题技巧剖析 篇7
一、做实基础,完善体系
“不积跬步无以至千里”,如果只有解题技巧,没有坚实的知识基础,那么一切都是空谈。高中数学知识点繁杂,而填空题考察点也不是固定的,所以,构建完善的知识体系是攻克填空题的有力武器。通常,考试当中试题的综合性很高,一道题中可能涉及多种知识概念,学生需要将知识联系起来,从而找到解题思路。教师要为学生准备基础习题进行训练,如下:
(1)假设集合A={-3,-2,2,4,6,8},集合B={-3,0,2,6,10},则A∩B=____,A∪B=____。
(2)已知方程2x2-4ax+3a2=0的两根一个小于1,一个大于1,计算a的取值范围____。
(3)2条直线p和q,不在同一平面内,假如另一直线r//p,求r与q的关系____。
教师要通过简单的习题练习,来完善学生基础知识体系的构建,让学生了解题目所涉及到的知识点,对于理论性的数学知识,教师也要为学生归纳整理,在课堂上强调其重要性,并不定期检查学生的掌握记忆情况,如:(1)陈述语句一定是命题,而疑问句、感叹句、祈使句不是命题;(2)在某对称单调区间内,奇函数的单调性是相同的,而偶函数的单调性则不同;(3)在三角函数的符号判断中,一全正,二正弦,三正切,四余弦。诸如此类。这样的基础知识记忆能帮助学生熟练运用,完善知识体系,做到举一反三,灵活使用。
二、直接推导,简单实用
在众多解题技巧中,直接推导是最为简单也是最为实用的技巧。顾名思义,直接推导就是根据题目中的条件以及条件间的关系,利用数学性质、数学公式、定义定理等,通过一定的计算,直接计算出所求的结果。在使用直接推导法解答填空题的时候,要注意做到灵活运用,不要仅仅局限在题目表面,要看到题目中的隐含条件,将所涉及到数字条件罗列在一起,形成紧密的关系,最后,一击解决。这也是学生采用最多的数学填空题解题技巧,对学生的知识联系能力有一定的要求,教师要积极引导,在平时的学习中不断锻炼学生的推导能力,熟练掌握该解题技巧。以具体的实例来说,
2014年世界杯期间,一家博彩中心推出新玩法:在9场比赛中,猜对所有比赛结果(赢、输、平)的人获得土豪奖,猜中8场比赛结果的获得鼓励奖,猜对7场及7场以下比赛结果的没有任何奖励,问小张获得土豪奖的几率是____。
该题中的条件有:9场比赛,3种比赛结果,猜对9场为土豪奖,猜对8场为鼓励奖,其余没奖。其中,有用的条件是前两个,由于事件相互独立,那么可以得到,小张猜对1场的几率为1/3,所以,求得结果为1/39。这就是利用题目条件,顺序推导,简单实用,教师要让学生多加练习,熟练掌握。
三、特值代入,巧取答案
由于数学填空题不要求解题过程,故而学生可以通过代入特殊数值,巧取答案。该方法使用起来较为简便,不需要复杂的逻辑思考能力,只需要理解题目含义,正确选取特殊数值,就能解决掉。特值代入适用于含有不定量与定论的题目,特殊值也不仅限于数值,可以根据实际题目的要求进行选取,如可以选取一个点、一个数组、一个图形、一个数列等,这样,抽象的问题就会变的具体化,且由于特殊值的存在,问题的难度也大大降低了,比起直接解答,该方法快速简单,且准确率高。但是学生要注意的是,特殊值的选取不能与题目条件相反,这就需要学生进行严谨的审题,确定数值的定义域,确保不要误解题意。如下题:
已知三角形三个角分别为A、B、C,所对边分别为a、b、c,假设a、b、c三边长度组成等差数列,求在该题中,三角形的角度、长度都是未知的,我们可以根据三边长度为等差数列,选取特殊值,如a=3,b=4,c =5, 这样 , 就可以得 到sin A =3/5,sin B =4/5进而求得这样,解题过程就变得非常简单,且又快又准。
四、等价转换,化难为易
有时候,在遇到一些较难较抽象的题目时,我们可以采用等价转换的方法,降低题目的难度,如果我们在直接解答过程中,遇到了较大的阻力,学生可以转换一下思想,从反方向思考问题,将题型转换为我们见过的题型,不仅增加了信心,也提高了答案的准确度。等价转换具体的方法有很多,可以从反方向思考,也可以转换为平行关系,通过发现规律得知答案。举例进行说明:
已知曲线x2+y2-2px+p2-2p-4=0与直线y=ax+1(a∈R)始终有一交点,求p的取值范围____。由于该题涉及到多个未知数,直接解答存在一定的难度,学生可以通过等价转换,根据条件所述内容,与(0,1)在圆内是一致的,所以,将此题转换解答即可,02+12-2p0+p2-2p-4≤0,最终解答出p的取值范围是[-1,3]。通过找到符合条件进行转换,能将抽象的问题具体化,用实际数字进行计算,对答案的准确率有很大的保证,且大大降低了问题的难度。教师在讲解例题的时候,要培养学生等价转换的思想,这个时候不要迎难而上,不要用蛮力,而要用巧劲,节约时间,提高准确率,从而提升自己的成绩。
五、数形结合,形象生动
数学是一门“数”与“图”结合的学科,数字与图形是相互存在的,二者缺一不可。在解决填空题的时候,学生也可以采用数形结合,根据题目中给出的条件,在纸上画出图形,这样,抽象的问题就具体生动的展现在眼前了,学生对解题思路以及解题方法就能够一目了然了。通常,数形结合的方法适用于不等式、函数方程等涉及图形的问题,还需要注意的是,学生在作图的时候,要根据题目中的数字进行比例缩放,确保图形与问题的意思符合,不要乱涂乱画,使得问题更加抽象或者将题意理解错误。高中数学填空题只需要给出答案,不需要写出解题过程,使用数形结合,学生可以直接在图形上看出答案,完全不需要再进行复杂的计算,即使需要计算,也会变得很简单。尤其是在考试过程中,使用数形结合的方法,既能节约时间,也能提高分数,比起埋头苦算,何乐而不为呢。有些题目还可以通过作图进行检验,以避免一些脱离事实而主观意想的错误。如下题:
已知点q(sina,cosa)在第二象限,求角a的终边在___象限。
学生可以在纸上画出直角坐标系,判断角a的正余弦正负情况,就能够得到答案在第四象限。教师在平时也要多使用图形结合的方法讲解填空题,培养学生的解题习惯,对提高教学效率也有很大的帮助。
在选取以上的解题方法的基础上,可以一种方法解答之后,再用其它方法,看它们的结果是否一致,从而可避免单一的方法造成的策略性错误。
高中数学填空题是考试的必考题型,及时掌握解题技巧,可以降低题目的难度,提高答案的准确率,教师在平时要强调解题技巧的重要性,夯实学生的知识基础,不断使用解题技巧进行习题的讲解,培养浓厚的氛围,让学生敢于用、善于用,从而提高自己的学习成绩。
摘要：在高中数学填空题教学中,教师要及时调整学生的心态,在平时的学习中,夯实学生的知识基础,并讲授解答填空题的技巧,做到又快又好的答题。在解答填空题的时候,掌握一定的解题技巧,能做到事半功倍,如直接计算法、特值代入法、数形结合法、等价转换法等技巧的灵活运用,就能大大提高学生的解题效率。
高中数学学习中常见盲点剖析 篇8
一、误解集合中元素的意义
例1 (人教A版必修Ⅰ集合运算)
(1) 已知集合, 求A∩B.
(2) 已知集合P={y|y=x2-2, x∈R}, Q={ (x, y) |y=x2-2, x ∈R}, 求P∩Q.
盲点1:集合A={y|y≥-2}, B={x|x≥0} 代表元素形式不同, 认为不能进行交集运算.实际上二者是同一种对象的集合, 都是数集, 只是代表元素字母不同, 代表元素的实际意义不同.对函数来讲, 前者为值域, 后者为定义域.
盲点2:集合P={y|y=x2-2, x∈R}, Q={ (x, y) |y=x2-2, x∈R}代表元素形式不同, 是两个不同对象的集合, 代表元素的意义不同, 前者为数集, 后者则为点集.
二、遗忘空集是任何集合的子集
例2 (人教A版必修Ⅰ第44 页, 复习参考题A组第4题) 已知集合A={x|x2=1}, B={x|ax=1}, , 求实数a的值.
学生的答案是实数a的值为-1, 1 两个数, 实际上正确的答案是实数a的值为-1, 1, 0 三个数.
盲点:若B哿A={-1, 1}, 则B是A的子集, 学生遗漏空集 Φ 是任何集合的子集, 即B=Φ 导致实数a的值少了0.在解集合运算问题时, 经常会碰到A∩B=A, A∪B=B, 即A哿B, 一定注意A=Φ 的特殊情况, 防止漏解错误.
三、混淆函数单调性与单调区间的概念
例3 (人教A版必修Ⅰ第29 页, 例1) 图1.3-4 是定义在区间[-5, 5]上的函数y=f (x) , 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数? (图略)
学生解答:函数y=f (x) 的单调区间有[-5, -2) 或[-2, 1) 或[1, 3) 或[3, 5]. 其中y =f (x) 在区间[-5, -2) 或[1, 3) 上是减函数, 在区间[-2, 1) 或[3, 5]上是增函数.还有部分学生将几个区间之间用“∪”连接.
盲点: 学生没有正确理解函数单调性与单调区间的概念, 单调性与单调区间密不可分, 单调性是函数在某一区间的“整体”性质, 单调区间是定义域的子区间.函数有多个单调区间时, 表示时之间用“, ”或“和”连接, 增 (减) 区间有多个时, 表示时之间也用“, ”或“和”连接, 而不能用“或”或“∪”连接.
四、忽视题设中隐含的条件
例4 (人教A版必修Ⅳ第137页) 在△ABC中, 已知, 求cos C的值.
学生的解答cos C的值为16/65或56/65, 实际上正确的答案是16/65.
盲点:本题是求解有关三角形问题, 三角形中的边角之间有着密切的联系, 学生忽视挖掘题设隐含的条件, 影响结果的正确性, 而错解cos B=±4/5两个值, 导致答案错误.由于在△ABC中, cos A=5/13, 所以A为锐角, 得sin A=12/13.由正弦定理sin A>sin Ba>bA>B, 又因为A为锐角, 所以B为锐角, 即cos B>0, cos C的值只有一个.
剖析数学归纳法 篇9
笔者拟从两个具体案例出发, 探讨数学探究活动设计存在的一些问题, 并提出改进建议, 以作抛砖引玉.
一、两个探究性学习的案例
案例1:“平方差公式”的教学设计 (片段) [3]
教师先设计以下问题, 引导学生进行思考与探索:
(1) 计算并观察下面每组算式
(2) 根据 (1) 中的规律 直接写出19×21 =_________.
(3) 你能再举出一个类似的例子吗?
(4) 研究上述式子的特征, 你发现了什么规律?你能用语言叙述这个规律吗?你能用式子 (用字母表示数) 表示这个规律吗? (即平方差公式)
(5) 你能证明你所得到的规律吗?
(6) 平方差公式的巩固应用 (题目略) .
案例2:等腰三角形的性质 (片段)
等腰三角形是在学习了轴对称图形、线段和角的对称性的基础上学习的新知识, 教师的探究性设计如下:如图1, 用纸剪下一个等腰三角形纸片ABC, 将三角形对折, 使它的两条腰AB和AC重合, 记折痕与底边BC的交点为D, 然后把纸片展开铺平. 依次思考下列问题.
(1) 等腰三角形是轴对称图形吗?
(2) ∠BAD与∠CAD相等吗?为什么?
(3) ∠B与∠C相等吗?为什么?
(4) 折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系?
(5) 线段BD与CD相等吗?
(6) 你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗?
二、对案例的剖析
对于案例1, 老师确实作了精心的设计, 在五个问题链的“指引”下, 学生确实发现了平方差公式, 并且在教师的适当点拨或纠正下, 用式子 (符号语言) 表达规律也并不困难, 这样, 就“顺利”完成了对“平方差公式”的认知任务. 而且, 从形式上看, “平方差公式”并不是老师讲的, 而是学生凭自己的“经验”“发现”的, 完全符合新课程的理念. 这样的设计应该看似“天衣无缝”, 很多教师也是这样安排探究型活动的.
但是, 总觉得学生的思维活动并未真正展开.我们不妨先思考这样几个问题: (1) 开始时为什么要研究这四个算式?是学生想出来要研究的吗? (2) 四个算式确实揭示了一定的规律, 但为什么要研究这种规律呢? (3) 学生在这一探索过程中究竟得到了什么活动经验?
对于案例2, 从形式上看, 学生确实经历了“探究发现—逻辑推理”的全过程[4], 学生也能在一系列问题的“指引”下, 发现并概括出等腰三角形的轴对称性、“两底角相等”及“三线合一”等重要性质.而且, 这些性质也全是学生“发现”的, 并不是教师“告知”的, 完全体现“教师为主导和学生为主体”的新课程理念.
但是, 我们不妨理性地思考一下, 这些性质真的是学生“发现”的吗?我们仍然思考下列问题: (1) 为什么要折纸呢? (2) 为什么研究∠BAD与∠CAD是否相等?∠B与∠C是否相等? (3) 为什么研究直线AD与底边BC的位置关系? (4) 为什么研究线段BD与CD是否相等?
在思考了针对上述两个案例的问题后, 我们不难发现, 这个案例中的所谓探究, 其实是老师按照自己已有的知识结构设计的问题链, 学生完全在老师的安排下, 完成了几个问题, 无论哪位老师, 面对怎样的学生, 只要精准地按照问题执行, 都能得到预想的结果. 但是学生始终是处于被动地位, 这些问题是教师要求研究的, 并不是学生自己想到应该研究这些问题, 至于为什么要研究这些问题, 是如何想到研究这些问题的, 它们与原有知识有何种逻辑关系, 学生一概不知!学生只是钻进了老师所设的“套”, 学生没有形成有效思考, 也没有从中得到数学活动和数学研究的经验.
因此, 从学生形成数学活动经验的角度看, 上述探究性学习的设计不能称为真正意义上的探究, 而是一种貌似探究的“假探究”.
三、什么样的探究才是“真探究”
1. 什么是探究学习
国内外学者对探究学习的解释有很多种. 有的将探究学习作为一种学习活动, 有的将探究学习作为一种学习方法, 有的将探究学习作为一种模拟性的科学研究活动, 表述不尽相同但又有共同之处:探究学习要使学生产生问题意识, 提出对学生具有挑战性和吸引力的问题;强调学生的主动性, 学生在探究中始终处于主动状态, 从问题的提出、制订问题探究计划, 到收集材料处理信息和得出结果、验证结论都贯穿了学生的积极思维.
其实, 探究学习、自主学习以及合作学习等都是新课程下涌现出来的提法, 从课程标准的论述和标准解读来看, 这些提法主要是针对传统教学过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状, 而并不是否定传统的学习方式. 传统学习方式也有接受学习和发现学习之分, 课程标准提倡在传统学习方式的基础上添加一些积极的元素或手段, 接受学习也可以含有探究、自主和合作的成分. 因此“探究学习”“自主学习”“合作学习”这样的说法只是讨论的需要或强调的侧重.
而且, 数学学习本身就是一个探究的过程, 在数学学习过程中, 学生要有积极思维的参与、观察、归纳、类比、联想、演绎等, 探究学习必定包含这些数学活动形式, 探究学习只是具有问题性、主动性、过程性等一些特征的学习方式.
因此, 从本质上看, 探究学习不是某种新的学习方式, 它仍从属于接受学习或发现学习.[2]
2.“真探究”的几个要素
要素一:教师问题选择得当.
数学探究的本质是构建适宜的问题情境, 通过调动学生的积极性, 让学生主动参与问题探究, 在问题解决的再创造中让学生感受知识发生与发展的过程. 因此, 探究始于问题, 问题引领探究, 问题的选择是否得当决定着数学探究是否顺利展开、能否达到预期目的. 起点问题的设计必须考虑学生原有的知识水平, 体现前后知识的联系, 建立在学生的最近发展区上, 并要有一定的数学结构和丰富的数学思想, 使学生能数学地思考问题.
要素二:学生思维积极参与.
数学活动是思维的活动, 一个数学探究活动是否为真正的探究学习, 归根到底要看学生是否参与、怎样参与、参与多少、是形式参与还是思维参与. 所谓学生主动参与, 就是给学生自主探究的权利, 不要教师设框框, 先把学生手脚捆绑起来, 要求学生按照教师预先设计好的一套去运行. 所谓思维参与, 就是不仅考虑课堂的热闹, 更要考虑思维的容量和深度. 从问题的提出到结论的猜想、从解题思路的探索到问题的彻底解决、从数学结论的证明到结论的推广等, 都要有学生思维的实质性参与.
要素三:学生获得基本活动经验.
《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》明确提出使学生获得数学的“基本思想”和“基本活动经验”的目标, 从而把“双基”扩展为“四基”.“四基”即使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.
通过探究学习, 学生在对数学知识的认识过程中会形成一种感受、体会和领悟, 会逐渐成为一种经验———“学什么”、“怎么学”. 这就是基本活动经验. 真正的探究学习, 就是让学生不断积累基本活动经验, 从而达到从“学会”到“会学”的飞跃.
四、对两个案例的改进建议
基于以上对数学探究活动及数学基本活动经验的认识, 对上述的两个案例做出如下修改建议.
1.案例1 的修改建议
(1) 引言:
:前面我们学习了单项式乘多项式、多项式乘多项式, 你能说说多项式的运算法则吗?你是怎么推导的?
设计意图:回顾运算法则, 强化“用运算律计算”而不是死记硬背的意识.
学生回答:m (a+b+c) =ma+mb+mc, (a+b) (c+d) =ac+ad+bc+bd.
(2) 探究公式.
问题1:上述公式中的字母a, b, c, d, m可以是数吗?可以相等吗?你能举个例子吗?
设计意图:让学生感受“从一般到特殊”, 感受公式的具体应用.
问题2:根据以上运算法则, 你能对 (x+b) (x+d) 利用公式直接写出它的结果吗?与 (a+b) (c+d) =ac+ad+bc+bd比较, 它实际上是上述公式中的哪一种特殊情况?
设计意图:渗透从一般到特殊. 让学生感受:“考察特例”是进一步认识数学对象的重要方法.
问题3:除此之外, 在 (a+b) (c+d) =ac+ad+bc+bd中, 你认为还有哪些情况比较特殊?你能得到什么?
设计意图:让学生感受到 (x+b) (x+d) 是一种特例 (a=b) 后, 根据这一类比对象, 再次“考察特例”, 逐步明确研究方向.
问题4:通过上述活动, 你能得到几种特例?今天我们研究其中一种 (平方差公式) , 其余的留待后续课堂继续研究. 请你用自己的语言表述出平方差公式.
设计意图:帮助学生理解公式, 并能用符号语言正确表达公式.
(3) 通过习题巩固并加深对公式的理解.
第一批习题:选题主要是通过变式 (字母a, b取数、式等变形) 及反例, 让学生明确:第一, 具备形式 (a+b) (a-b) 就可以用公式;第二, 要注意哪个代表a, 哪个代表b. 第三, 顺序不完全符合时, 要用加法交换律调整顺序.
第二批习题:选题改变a, b的位置、符号再次巩固, 并及时纠正学生的错误.
(4) 公式的多元应用.
问题4:我们知道, 如果a, b表示线段的长, 则“a2, b2”分别表示正方形的面积. 你能根据公式的形式, 自己构造一个图形表示上述乘法公式吗?
设计意图:通过构造几何模型表示公式, 通过形的直观, 理解式的运算规律, 从而开拓学生的思路, 并加深理解, 增强记忆.
(5) 小结.
1请你总结一下本节课讨论问题的基本过程.
设计意图:引导学生总结学习代数公式的“基本套路”, 即“多项式乘法 (一般) —乘法公式 (特殊) —公式特征分析—与相关知识的联系”.
2为什么要讨论“特殊情形”?是如何得到的?
设计意图:体会“如何提出问题”.
3你能否循着上述思路, 策划一下刚才讨论的其他特例的研究过程?
设计意图:与问题4相呼应, 并为后续研究完全平方公式等埋下伏笔.
2.案例2 的修改建议
引言:对于三角形, 我们已研究过它的组成要素 (内角、边) 的关系, 请你说说角有哪些关系?边有哪些关系 (内角和定理、边的不等关系) ?也研究了三角形的相关要素, 如:外角、角平分线、中线、高等. 这些都是一般三角形均具有的性质.
但有些三角形是特殊三角形, 如直角三角形、等腰三角形, 你能说说它们特殊在哪里吗? (分别是内角特殊、边的关系特殊)
下面我们来研究等腰三角形除了一般三角形都具有的性质外, 还有哪些性质.
设计意图:先回顾一般三角形的性质, 便于与接下来要研究的等腰三角形的性质做比较, 感受一般和特殊的关系.
问题1:你认为可以研究等腰三角形的哪些问题?
设计意图:让学生明确要研究的问题. 即类比一般三角形的研究内容, 确定等腰三角形的研究内容.
问题2:研究等腰三角形的性质可以从哪些角度入手?
设计意图:研究问题具体化, 明确要研究的问题是:内角的关系, 相关要素 (高、中线、角平分线) 的特性;等腰三角形进一步特殊后的性质;等.
问题3:前面学习过轴对称图形, 知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形. 根据这些经验, 请动手剪一个等腰三角形, 并说明你得到的一定是等腰三角形.
设计意图:通过操作, 使学生更深刻地感受等腰三角形的对称性;让学生说明“一定是”, 目的是强化操作过程中利用了“重合”.
问题4:“剪”的关键步骤是什么?数学含义是什么?
设计意图:分析操作步骤中每一步的数学意义, 明确“折叠”是为了得到“对称轴”, “剪一刀”就得到了两条腰, 由“重合”保证了“等腰”. 这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁.
问题5:从“剪”的过程中可以看到, 等腰三角形的哪些元素是重合的?由此可以得到哪些性质的猜想?
学生给出猜想后, 再提出:如何证明?并提醒:要注意操作过程中数学含义的启发.
设计意图:先猜想, 后证明. 可能有些学生不善于把操作的经验用于证明, 所以提醒从操作中获得证明思路的启发.
问题6:对特殊的等腰三角形———等边三角形, 还能进一步推出哪些特殊结论?
设计意图:等边三角形的性质是等腰三角形性质的推论, 完全可以由学生自主获得.
小结:等腰三角形是轴对称图形, 顶角的平分线就是对称轴.“三线”重合于对称轴, 这是等腰三角形所有性质的根源. 后续学习还会发现, 等腰三角形的这些性质在平面几何中是非常有用的.
五、结语
“假探究”不能达到探究的真正目的, 不利于达到培养学生思维能力这一目的, 也不能真正让学生积累数学活动经验. 要防止“假探究”现象, 笔者认为, 在探究活动的设计中, 务必注意以下几点.
第一, 起始问题的设计, 应考虑知识发生的来龙去脉, 体现前后知识的内在逻辑联系, 让知识发生得“顺理成章”“理所当然”, 不要仅为了情境设计的新颖而切断了知识的联系.
第二, 探究问题系列的设计, 应考虑学生知识的生长点, 能吸引学生的注意力, 调动学生的情绪, 打动学生的心灵, 从而激发学生探究的动机, 形成良好的课堂气氛. 这是探究活动的前提.
第三, 教师不仅应组织多样化的学生参与活动, 更要设计高品质、有思维价值、值得学生深入思考又与实际学习紧密结合的数学问题, 促进和引导学生的主动探究和思维参与. 问题要有恰当的思维含量, 不要用不需思考即能脱口而出的问题串, 设计的问题不以数量的多少来衡量, 梯度要适中, 提问时机要恰到好处.
第四, 教师的引导应把握数学的核心概念和重要思想方法体系, 渗透数学思想方法.
第五, 要把“积累数学活动经验”作为探究活动的目的之一, 不要为了探究而探究. 对于不适合进行探究的内容, 不要强求用探究活动这种形式进行教学.
参考文献
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[2]顾继玲, 张新华.初中数学教材探究活动设计的思考[J].数学教育学报, 2012 (6) .
[3]李树臣.关于形成数学活动经验的若干问题[J].中学数学杂志, 2011 (12) .
剖析数学归纳法 篇10
随着硬件和软件的发展,教育有关部门的推动,以及培训机构的跟进,“微课”以不可阻挡的态势慢慢渗透到课堂.
下面以一位初中数学教师将“微课”融入数学课堂教学的一节等腰三角形复习课为例,全息观察分析.
一、个案背景
牛跟茂,首师大附中初中数学教师,也是首师大附中第一分校的教学副校长. 2013年带领学校教育教学骨干到山东某实验中学交流时,首次接触“微课”,并就“微课”这一话题与友好校进行了初步交流研讨,其后又受就职于辽宁某重点中学的大学同学的影响,尝试制作了一些“微课”. “微课”的重复性,时间的灵活性,使牛老师意识到可以用 “微课”部分解决因为一些会议、临时任务或外出培训等影响正常教学任务而带来的苦恼,另外可以大大提高学生有效学习环节中的课后自修环节的有效性.
身为教学副校长的他,还有一个困惑: 学校硬件设备很先进、信息化程度很高,但效益并没有充分发挥出来. 如何利用现有的先进设施,落实校长在2014—2015学年提出的建设“智慧校园”的理念? 恰逢某网络云端平台找他试用, 在试用过程中他不仅提出了若干建议帮助改进功能,而且发现通过智能手机、Pad或者PC等个人终端,可以在云端平台上开展教务管理、教学分享、作业布置、家校互动、资料共享等教学行为,教育的时间和空间得到了开放,学校和教师的管理效率也得到了提升. 于是牛老师在分校正式引进了该云端平台,同时萌生了借助该平台,将“微课”融入课堂教学的念头,并于2014年10月组织了青年教师“微课团队”,开始正式研究“微课与有效教学”.
二、微课制作
针对这节等腰三角形的复习课,课前牛老师制作了六个“微课”,并于上课前一天发布到平台上. 包括:
( 1) 等腰三角形概念( 等腰三角形定义和腰、底角概念, 时长1'08″) ;
( 2) 等腰三角形性质( 性质1等边对等角、性质2三线合一,时长2'07″) ;
( 3) 等腰的轴对称性( 等腰三角形是轴对称图形、等腰三角形两腰上的高相等、等腰三角形两腰上的中线相等,时长3'06″) ;
( 4) 已知一条线段作等腰三角形( 时长5'25″) ;
( 5) 等腰三角形腰上的高( 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角一半、垂直于腰的直线与底边所在直线的夹角等于顶角一半,时长5'43″) ;
( 6) 由直角三角形得到等腰( 时长1'34″) .
在整体设计的基础上,六个“微课”都制作了相应的课件( 几何画板格式或PPT格式) ,然后通过录屏软件将画面和老师的声音混录到一起( 没有出现教师的画面) ,录制基本一次完成,录制花费不到半小时. 录制完成,六个“微课” 也就诞生了.
三、课堂实践
等腰三角形再认识这节复习课主要由基础知识和应用探究两部分构成,包含四个主要活动: 等腰三角形基础知识回顾; 在实际问题中发现和应用等腰三角形; 分类思想在等腰三角形中的应用; 转化思想在等腰三角形中的应用.
1.等腰三角形相关知识回顾
通过平台,学生可以利用教师提供的“微课”资料,找出自己需要的知识,课前完成学习任务单上的等腰三角形部分的知识体系图( 图1) . 早自习时间,牛老师到班里巡查, 找到学生的典型“作品”,然后用手机拍照同步到平台上. 上课时,牛老师打开平台,大屏幕展示了三名同学的等腰三角形部分的知识体系图,边引导边完善.
评议知识梳理是复习课的必要环节,往往也是效益较低的环节. 低效的主要原因,一是学生积极参与不够,二是教师包办过度等.“微课”的介入,使本节复习课的预习有了新意,特别是对喜欢动态、视听的同学,以及喜爱教师语言风格的同学有了别样的感受.
另外平台同步资料的功能,减少了学生展示环节切换和机器调整的时间浪费,也提高了展示信息的清晰度.
一点斟酌: 知识体系的建构可以更开放一些,让学生经历知识梳理的全过程,而不是为了完成教师布置的填空题. 当学生在最近发展区内面临更挑战的任务时,积极性、主动性得到张扬,创造性也会被激发.
2.一个实际问题探究
牛老师选用了在多本教学资料出现的题目让学生探究: 建筑工人在建房子时,为了确定房梁是否水平,常用这样的方法: 用一块等腰直角三角形的三角板放在梁上( 图2) ,从顶角顶点系一重物,如果系重物的绳刚好经过三角板底边的中点,就认为房梁就是水平的,你认为这样做有道理吗?
虽然学生拥有了等腰三角形相关知识,但将此知识应用到现实情境还是有困难的. 牛老师清楚知道学生的困惑, 所以设计了逐步深入的思路导引:
( 1) 画出一个能说明此问题的几何图形,结合图形加以说明,注意关键词.
( 2) 这个现实问题中包含了哪些数学知识? 从微课中了解这些知识了吗?
( 3) 如果不用等腰直角三角形三角板行吗? 可以换成什么图形?
( 4) 你还有别的判断方法吗?
学生探究时,教师巡视中,及时拍下学生的典型“作品”,通过云端平台进行数据同步,交流时实时展示在大屏幕及学生终端上,并同时让“作者”进行讲解,最后教师进一步利用动态软件提升对问题的认识( 图3 - 图5) .
评议具有数学的普遍知识不一定能自觉地直接应用到现实特殊情境,并顺利地解决问题. 所以恰时恰点地创设适宜的现实特殊情境,不仅能使学生感受到数学的价值,而且也能提升学生数学应用的意识和能力.
此环节教学课件、云端平台及学生终端的“无缝链接”, 把每一名学生的注意力及时吸引在课堂学习上,提高了学习效率.
两点建议:
( 1) 如果将利用动态软件的提升做成“微课”,在此活动最后,提供给学生独立观看,这样可以让学生根据自己的情况,快进或暂停,观看一遍或多遍.
( 2) 问题情境要更接近现实,陈述要更严谨. 比如,现在的“建筑工人”不会用问题情境的方法确定房梁是否水平, 所以改为“瓦工师傅”,“常用”改为“有时”为宜. 再如,房梁如果轴对称弯曲,而等腰直角三角形的三角板的斜边中线恰与其对称轴重回,此时系重物的绳也刚好经过三角板底边的中点,但房梁显然不是水平的. 因此“三角板放在梁上” 改为“三角板的斜边贴在梁上”更准确.
3.已知一边画等腰三角形
由上一环节思路导引问题( 3) ,牛老师总结到: 其实只要是一个等腰三角形即可实现,那么做等腰三角形,我们要注意什么呢? 于是顺理成章地引出已知一边画等腰三角形的问题: 如图6,线段OD的一个端点O在直线a上,以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线a上,这样的等腰三角形能画多少个?
为了顺利让 学生完成 任务,牛老师提供了问题串:
( 1) 还记得微课中,如何利用一条已知线段做一个等腰三角形吗? 要注意什么?
( 2) 回忆: 点、线、角等元素在等腰三角形的环境下易于产生分类讨论问题的原因是什么?
( 3) 在已知一条线段的基础上,尺规作图,找出所有符合条件的点的方法是什么?
学生探究绘制交流的基础上,牛老师将绘制等腰三角形的方法归纳成4句顺口溜: 先做底,再做腰,选顶点,画弧线.
评议本活动入手不难,每名学生都容易参与. 同时活动答案的多样性,使得活动具有某种挑战性,激发了学生参与的欲望.
两点商榷:
( 1) “已知一条线段作等腰三角形”的“微课”不要课前提供,因为提前观看,使得本活动转向为模仿性活动,降低了思维含量. 而在学生探究绘制交流之后观看此“微课”,可起到整理思路,固化成果的作用.
( 2) 不仅归纳4句顺口溜提供可操作方法,而且更要强调4句顺口溜背后的东西: 有序思考,这是多重答案的任务顺利圆满完成的思考策略,作为“思维体操”的数学理应做此提升.
4.一个综合问题的探究
已知: 如图7,△ABC中,∠A = 2∠B = 72°,CD⊥AB于D.
( 1) 线段AD,AC,BD间有怎样的数量关系? 证明你的结论
( 2) 若点P为AC延长线上一点,则点P到直线AB、BC的距离的差为定值,为什么?
在学生探究时,教师给出思路导引:
( 1) 根据给出的条件,图形中隐藏了哪些信息?
( 2) 利用微课中提供的资源,结合等腰三角形与直角三角形的关系,能否移动某些元素?
( 3) 问题( 2) 与微课中哪个资源有关联?
( 4) 试说明你利用了哪几个微课中的知识?
评议本大题有两道小题. 第一小题让学生体会到等腰三角形的边等角等,可实现边和角的“搬家”,有了这种经验,添加辅助线构建等腰三角形就非常自然. 第二小题是课前作业已证明的结论的变形: 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高. 设计的亮点是不直接告知等腰三角形,而是需要学生计算且是非正常放置的等腰三角形,问题的结论也是开放的,特别“定值”的陈述虽然给学生带来一定的“困扰”,但提高了学生参与的兴趣和认知参与的水平.
一点切磋: 两道小题不必硬整合为一道大题. 第一小题的72°是多余条件,而且易误导学生; 第二小题给出腰上的高线CD,多了辅助少了思考.
四、思考建议
2010年、2011年国内仅有少数几个地区开展“微课”征集评比活动,2012年以后各省市逐渐加入. 2012年9月教育部启动了第一届全国中小学教师“微课”作品征集大赛, 2014年11月又启动了第二届全国中小学教师“微课”作品征集大赛. 目前多数教师仅限于参与“微课”的征集评比活动,只有极少教师将“微课”与数学课堂教学结合,结合也是零散的研究课,没有形成规模. 从已有的研究课形式上看, 主要是将“微课”在课堂某个环节中播放,让学生集体观看.
造成目前的现状,主要有三点原因:
一是对“微课”的认识有偏差. 在一些培训项目中,笔者有意识地调查教师对“微课”的看法,发现多数教师把它和课件等同,认为只不过带讲解的自动播放; 把“微课”更多地视为教的资源而不是学的资源. 多数“微课”是为了参加比赛而设计,从教的角度考虑. 所以当他们将“微课”整合到课堂教学时,基本上就是在课堂某个环节中播放,让学生集体观看.
二是“微课”的制作技能偏低. 从设计到制作“微课”不少教师感觉吃力,也有不少教师不具备独立录制“微课”的能力.
三是与学校的软硬件环境有关. 教师制作的“微课”缺少发布给学生的渠道,也缺少学生方便观看的平台.
因此,关于“微课”一线教师并不陌生,但如何更好地融入课堂教学,是值得研究的问题. 透过牛老师这节复习课, 我们得到如下一些启示:
1.目标内容是根本
这节复习课的主要目标是等腰三角形的再认识,而学生自认为已经掌握了相关知识,如果没有适度新颖的内容, 学生会很懈怠. 牛老师围绕教学目标主要设计了四项活动: 等腰三角形相关知识思想方法的自主梳理; 将知识应用到现实情境中; 等腰三角形的绘制; 一个综合问题的探究. 第一个活动学生通过观看“微课”在课前完成,课上展示交流; 后三个活动在课上进行. 课前课上的衔接性,内容的丰富性,任务的挑战性,不仅吸引了学生的主动参与,而且加深了学生对等腰三角形的性质、判定等知识的理解,实现了教学目标.
如果没有适宜的教学目标,没有符合学生的高认知学习内容,在全新的教学方式、教学资源也是低效或无效的.
2.观念技能双提升
作为教师首先要有录制“微课”的愿望,这需要正确地认识“微课”. 现在的学生是“读屏”长大的,“微课”迎合了学生的“阅读”需求.“微课”以微视频呈现,可以方便地暂停、倒退、重播及快进,使学生能够按照自己的步骤个性化学习; 5分钟左右的时长,符合学生眼视觉驻留的规律,也便于学生利用碎片化时间观看; 微视频不出现讲课人,利于学生将视觉、听觉专注在信息内容上,让思维的参与更深入.
其次要主动学习并实践,录制一两次后,找到感觉,就会发现“微课”录制并不麻烦,用录屏软件或手机录制都很简单.
3.统筹兼顾是关键
笔者认为“微课”就是某种教学资源,教师、学生、教材、 信息技术等也是教学资源,统筹兼顾这些教学资源是有效教学的关键.
( 1) 无论是课前的预习、复习,还是课上的学习以及课下的作业,都可以融入“微课”.
( 2) “微课”一般是启发式的讲授,如果是探究式的学习内容,就不适合让学生先观看,所以“微课”的观看也要讲究时机.
( 3) 为了充分发挥“微课”的作用,无论是课上或课下, 都应让学生自主观看学习.
4.翻转课堂是追求
如果把“微课”作为一种核心的教学资源,特别是实现一些学者所希冀的“翻转课堂”的功效,仅靠教师的个人力量显然是困难的.“翻转课堂”是“The Flipped Classroom”的中文翻译,也翻译为反转课堂或颠倒课堂. 简言之,“翻转课堂”是将传统课堂内和课堂外的活动翻转过来,即学习知识在课外,内化知识在课内. 基于“微课”的“翻转课堂”,需要系统设计教与学( 课前、课上、课后) ,需要团队的合作,及学校相关部门的支持.
牛老师所在的学校,信息技术平台已搭建完成. 通过平台,发布“微课”、监测学生、师生交流、家校互动等都很方便. 对于北京市的城市学校,学生人手一台智能手机已不是新闻. 为了怕智能手机影响学生学习,一般学校不提倡学生使用手机,即使允许学生携带手机,也规定进校关机且在校园内不能拿出手机. 而牛校长的想法是,可以正面引导并辅之于相应技术干预,比如在校园内只能通过学校的Wifi,接入到校园网站,而校园网站只有相关平台及学习资源的链接,让学生可以在校园内利用智能手机观看“微课”或利用其他学习资源. 因此,对牛校长而言硬件设施已比较理想, 他正在组建团队期望有更多的老师认同他的观点并系列研究.
“微课”融入课堂实现“翻转课堂”,任重道远.
摘要：以一位初中数学教师将“微课”融入数学课堂教学的一节等腰三角形复习课为例,全息观察分析,指出:目标内容是根本;观念技能双提升;统筹兼顾是关键;翻转课堂是追求.
